Questão 8

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 8)

a) Calcule $(cos^{2}frac{pi}{5}-sen^{2}frac{pi}{5})cosfrac{pi}{10}-2senfrac{pi}{5}cosfrac{pi}{5}senfrac{pi}{10}$

b)Usando o resultado do item anterior, calcule $sen frac{pi}{10}cosfrac{pi}{5}$

Gabarito:

Resolução:

a) Desenvolvendo a expressão $(cos^{2}left (frac{pi}{5} ight )-sen^{2}left (frac{pi}{5} ight ))cdot cosleft (frac{pi}{10} ight )-2cdot senleft (frac{pi}{5} ight )cdot cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight )$ , temos:

$(cos^{2}left (frac{pi}{5} ight )-sen^{2}left (frac{pi}{5} ight ))cdot cosleft (frac{pi}{10} ight )-2cdot senleft (frac{pi}{5} ight )cdot cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) =$

$=left ( cos left ( frac{2pi}{5} ight ) ight )cdot cosleft (frac{pi}{10} ight )-2cdot senleft ( frac{2pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) =$

$= cosleft ( frac{2pi}{5} + frac{pi}{10} ight ) = cosleft ( frac{pi}{2} ight ) = 0$

b) Utilizando o resultado anterior, temos:

$(cos^{2}left (frac{pi}{5} ight )-sen^{2}left (frac{pi}{5} ight ))cdot cosleft (frac{pi}{10} ight ) = 2cdot senleft (frac{pi}{5} ight )cdot cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cosleft ( frac{2pi}{5} ight )cdot cosleft ( frac{pi}{10} ight )= 2cdot senleft (frac{pi}{5} ight )cdot cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow dfrac{cosleft ( frac{2pi}{5} ight )cdot cosleft ( frac{pi}{10} ight )}{2cdot senleft (frac{pi}{5} ight )}= cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow dfrac{cosleft ( frac{2pi}{5} ight )cdot cosleft ( frac{pi}{10} ight )}{4cdot senleft (frac{pi}{10} ight )cdot cosleft (frac{pi}{10} ight )}= cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow dfrac{cosleft ( frac{2pi}{5} ight )}{4cdot senleft (frac{pi}{10} ight )}= cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight )$

Agora observe que:

$frac{pi}{10} + frac{2pi}{5} = frac{pi}{10} + frac{4pi}{10} = frac{5pi}{10} = frac{pi}{2}$

Portanto, $frac{pi}{10}$ e $frac{2pi}{5}$ são complementares, logo:

$cosleft (frac{2pi}{5} ight ) = senleft (frac{pi}{10} ight )$

Substituindo na última igualdade encontrada, teremos:

$dfrac{cosleft ( frac{2pi}{5} ight )}{4cdot senleft (frac{pi}{10} ight )}= cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow dfrac{senleft ( frac{pi}{10} ight )}{4cdot senleft (frac{pi}{10} ight )}= cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cosleft (frac{pi}{5} ight )cdot senleft (frac{pi}{10} ight ) = frac{1}{4}$

Questão 8

ITA 2011

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