Questão 6

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 6)

Determine todos os valores de m ∈ $mathbb{R}$ tais que a equação $(2-m)x^{2}+2mx+m+2=0$ tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero.

Gabarito:

Resolução:

Dada uma equação do segundo grau qualquer, que possa ser escrita da forma: $ax^2 + bx + c = 0$ , tal que $a eq 0$ ela terá duas raízes reais distintas e maiores que zero se, e somente se, $Delta > 0$ , $frac{c}{a} > 0$ e $frac{-b}{a} > 0$ .

Dada a equação $(2-m)x^{2}+2mx+m+2=0$ , temos: $a = 2-m$ , $b = 2m$ e $c = m+2$ .

Para que $Delta > 0$ , teremos:

$Delta = b^2 - 4ac =(2m)^2 - 4cdot(2-m)cdot(2+m) = 4m^2-16+4m^2$

$Delta > 0 Leftrightarrow 8m^2-16 > 0 Leftrightarrow 8m^2 > 16 Leftrightarrow m^2 > 2$

Logo temos que, $m < -sqrt{2}$ ou $m > sqrt{2}$ .

Para que $frac{c}{a} > 0$ , teremos:

$frac{m+2}{2-m} > 0 Leftrightarrow (m+2)(2-m) > 0$

Logo $-2< m < 2$ .

Para termos $frac{-b}{a} > 0$ , precisamos que:

$frac{-2m}{2-m} > 0 Leftrightarrow (-2m)(2-m) > 0$

Logo $m < 0$ , ou $m > 2$ .

Fazendo a união dos três conjuntos, concluímos que $m$ precisa pertencer ao intervalo $]-2, -sqrt{2}[$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2011 - 1a FASE) Dado , então é igual a :

Ver questão

Questão 2

[ITA - 1 FASE - 2011] Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2: . . Se , então . é(são) sempre verdadeira(s):

Ver questão

Questão 3

[ITA - 1 FASE - 2011] A soma de todas as soluções da equação em é igual a:

Ver questão

Questão 5

[ITA - 1 FASE - 2011] Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e n ({C : C ⊂ B A}) = 128. Então, das afirmações abaixo: I – n(B) –...

Ver questão