Questão 1

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 1)

Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não-vazios, tais que (A B)∪(B A) = A.

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a expressão de conjuntos, temos:

$(A ackslash B) cup (B ackslash A) = A Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (A cup B) - (A cap B) = A Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left [(A cup B) - (A cap B) ight ] cup (A cap B) = A cup (A cap B) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (A cup B) = A cup (A cap B)Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (A cup B) = A Leftrightarrow B subset A$

Porém, se temos que $B subset A$ , necessariamente temos que $left (A cap B ight ) = B Rightarrow left (Backslash A ight ) = varnothing$ . Dessa maneira, temos:

$(A ackslash B) cup (B ackslash A) = A Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (A ackslash B) cup (varnothing) = A Leftrightarrow$

$Leftrightarrow A ackslash B = A Leftrightarrow$

$Leftrightarrow A cap B = varnothing Leftrightarrow B = varnothing$

O que contraria o enunciado da questão, que nos diz que ambos não são vazios.

Portanto, não existem conjuntos A e B, não vazios, que satisfaçam $(A ackslash B) cup (B ackslash A) = A$ .

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