Questão 5

ITA 2011

Matemática

(ITA - 2011 - 2ª fase)

Determine todas as matrizes M $in$ M_2x2( $mathbb{R}$ ), tais que MN = NM, $forall$ N $in$ M_2x2( $mathbb{R}$ ).

Gabarito:

Resolução:

RESPOSTA: M = a . I₂, a $in$ $mathbb{R}$ .

1) Considerando que

$M=egin{pmatrix}a & b\ c & d end{pmatrix}$

$N=egin{pmatrix}e & f\ g & h end{pmatrix}$

2) Com isso, como MN = NM:

$egin{pmatrix}a & b\ c & d end{pmatrix}egin{pmatrix}e & f\ g & h end{pmatrix}=egin{pmatrix}e & f\ g & h end{pmatrix}egin{pmatrix}a & b\ c & d end{pmatrix}$

3) Desenvolvendo:

$egin{pmatrix}ae+bg&af+bh\ ce+dg&cf+dhend{pmatrix}=egin{pmatrix}ea+fc&eb+fd\ ga+hc&gb+hdend{pmatrix}$

4) Com isso, temos que:

$left{egin{matrix} bg=fc \ af+bh=eb+fd \ ce+dg = ga+hc \ cf=gb end{matrix} ight.$

5) Como foi dito que MN = NM é válido para todo N, temos que a única resposta para as equações

$left{egin{matrix} bg=fc \ cf=gb end{matrix} ight.$ terem resposta é quando $b=0;e;c=0$ .

6) Substituindo nas outras duas equações:

$left{egin{matrix} af+0 cdot h=0 cdot e+fd \ 0 cdot e+dg = ga+h cdot 0 end{matrix} ight.$

7) Desenvolvendo:

$left{egin{matrix} af=fd \ dg = ga end{matrix} ight.$

8) Simplificando:

$left{egin{matrix} a=d \ d = a end{matrix} ight.$

9) Logo,

$M=egin{pmatrix}x & 0\ 0 & x end{pmatrix}$

10) Com isso,

M = a . I₂, a $in$ $mathbb{R}$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2011 - 1a FASE) Dado , então é igual a :

Ver questão

Questão 2

[ITA - 1 FASE - 2011] Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2: . . Se , então . é(são) sempre verdadeira(s):

Ver questão

Questão 3

[ITA - 1 FASE - 2011] A soma de todas as soluções da equação em é igual a:

Ver questão

Questão 5

[ITA - 1 FASE - 2011] Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e n ({C : C ⊂ B A}) = 128. Então, das afirmações abaixo: I – n(B) –...

Ver questão