Questão 7763

ITA 2010

Matemática

(Ita 2010) A expressão é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) Lembrando que

$(x+y)^n= sum_{k=0}^{n}inom{n}{k} x^{n-k}y^k$

e que

$inom{n}{k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}$

2) Para $left(2sqrt{3}+sqrt{5} ight)^5$ :

$left(2sqrt{3}+sqrt{5} ight)^5=sum _{i=0}^5inom{5}{k}left(2sqrt{3} ight)^{left(5-k ight)}left(sqrt{5} ight)^k$

$left(2sqrt{3}+sqrt{5} ight)^5=288sqrt{3}+720sqrt{5}+1200sqrt{3}+600sqrt{5}+250sqrt{3}+25sqrt{5}$

$left(2sqrt{3}+sqrt{5} ight)^5=1738sqrt{3}+1345sqrt{5}$

3) Para $left(2sqrt{3}-sqrt{5} ight)^5$

$left(2sqrt{3}-sqrt{5} ight)^5=sum _{k=0}^5inom{5}{k}left(2sqrt{3} ight)^{left(5-k ight)}left(-sqrt{5} ight)^k$

$left(2sqrt{3}-sqrt{5} ight)^5=288sqrt{3}-720sqrt{5}+1200sqrt{3}-600sqrt{5}+250sqrt{3}-25sqrt{5}$

$left(2sqrt{3}-sqrt{5} ight)^5=1738sqrt{3}-1345sqrt{5}$

4) Logo,

$\ left(2sqrt{3}+sqrt{5} ight)^5-left(2sqrt{3}-sqrt{5} ight)^5=1738sqrt{3}+1345sqrt{5}-1738sqrt{3}+1345sqrt{5} \ oxed{left(2sqrt{3}+sqrt{5} ight)^5-left(2sqrt{3}-sqrt{5} ight)^5=2690sqrt{5}}$

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