Questão 3

ITA 2010

Matemática

Se z é uma solução da equação em ,

$z - ar{z} + |z|^{2} = - left [(sqrt{2}+i)(frac{sqrt{2}-1}{3}-ifrac{sqrt{2}+1}{3}) ight ]^{12}$

pode-se afirmar que

A

$i(z-overline{z}) <0$ .

B

$i(z-overline{z}) >0$ .

C

$|z| in [5,6]$ .

D

$|z| in [6,7]$ .

E

$|z + frac{1}{z}| > 8$ .

Gabarito:

$|z + frac{1}{z}| > 8$ .

Resolução:

Simplificando, primeiramente, o lado direito da esquação:

$[(sqrt{2}+i)(frac{sqrt{2-1}}{3}-frac{sqrt{2}+1}{3}i)]^{12}=$

$[frac{2-sqrt{2}}{3}-frac{2+sqrt{2}}{3}i+frac{sqrt{2}-1}{3}i+frac{sqrt{2}+1}{3]}]^{12}=$

$[frac{3}{3}-frac{3}{3}i]^{12}=$

$[1-i]^{12}$

Transformando $(1-i)^{12}$ em coordenadas polares no plano complexo e resolvendo vamos ter:

$(1-i)^{12} = (sqrt{2} cdot cis(-45))^{12} = sqrt{2}^{12} - cos{(180)} = -2^6$

Agora resolvendo por completo a equação:

$z - overline{z} + |z|^2 = 2^6$

$(a+bi) - (a-bi) +(a^2+b^2) = 2^6$

$2bi + a^2 + b^2 = 2^6$

Podemos reparar então que:

$2bi =0 Rightarrow b=0$

Com isso encontramos:

$a^2 = 2^6$

$a= pm8$

Temos então que $z = pm 8$

Analisando as opções, podemos concluir que a letra E é a correta

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