Questão 2

ITA 2010

Matemática

(Ita 2010) Considere conjuntos A, B ⊂ IR e C ⊂ A ∪ B). Se A ∪ B, A ∩ C e B ∩C são os domínios das funções reais definidas por

$ln (x -sqrt{pi}), sqrt{-x^2+6x-8}$ e $sqrt{frac{x-pi}{5-x}}$ , respectivamente, pode-se afirmar que

A

B

C

D

E

C não é intervalo.

Gabarito:

Resolução:

1) Analisando o domínio de $ln (x -sqrt{pi})$ :

1.1) Para um logaritmo, temos que:

$log _afleft(x ight)quad Rightarrow quad :fleft(x ight)>0$

1.2) Logo, $x-sqrt{pi }>0$

$x>sqrt{pi }$

$Acup B=left(sqrt{pi },:infty : ight)$

2) Analisando o domínio de $sqrt{-x^2+6x-8}$ :

2.1) Para uma raiz, temos que:

$sqrt{fleft(x ight)}quad Rightarrow quad :fleft(x ight)ge 0:$

2.2) Logo, $x^2+6x-8ge :0$

2.3) Fatorando:

$-left(x-2 ight)left(x-4 ight)ge :0$

$left(x-2 ight)left(x-4 ight)le :0$

2.4) $mathrm{Calcular:os:sinais:dos:fatores:de:}left(x-2 ight)left(x-4 ight)$ :

2.5) $mathrm{Escolhendo:os:intervalos:que:satisfaçam:a:condição:solicitada:}:le ::0$ :

$2le :xle :4$

$Acap C=left[2,:4 ight]$

3) Analisando o domínio de $sqrt{frac{x-pi}{5-x}}$ :

3.1) Para uma raiz, temos que:

$sqrt{fleft(x ight)}quad Rightarrow quad :fleft(x ight)ge 0:$

$frac{x-pi }{5-x}ge :0$

3.2) $mathrm{Calcular:os:sinais:dos:fatores:de:}frac{x-pi }{5-x}$ :

3.3) $mathrm{Escolhendo:os:intervalos:que:satisfaçam:a:condição:solicitada:}:ge ::0$

$pi le :x<5$

$Bcap C=[pi ,:5)$

4) Temos devido a propriedade distributiva que $Ccap (Acup B)=(Acap C)cup (Bcap C)$ .

5) Sabemos que C ⊂ A ∪ B, logo:

$C=(Acap C)cup (Bcap C)$

6) Como $Acap C=left[2,:4 ight]$ e $Bcap C=[pi ,:5)$

$C=[2, ;5)$

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