Questão 30

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE)

As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem 2 cm e $frac{3}{2}$ cm; respectivamente, calcule

a) a distância entre os centros das duas esferas.

b) área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas.

Gabarito:

Resolução:

Conforme os dados fornecidos pelo enunciado, conseguimos construir a seguinte figura:

a) Como as superfícies das duas esferas se interceptam ortogonalmente, temo que os raios $AC_1$ e $AC_2$ formam um ângulo de 90 graus. Dessa maneira, temos:

$left (C_1C_2 ight )^2 = left (AC_1 ight )^2+left (AC_2 ight )^2$

$left (C_1C_2 ight )^2 = left (2 ight )^2+left (frac{3}{2} ight )^2$

$left ( C_1C_2 ight )^2 = 4 + frac{9}{4}$

$left ( C_1C_2 ight )^2 = frac{25}{4}$

$C_1C_2 = frac{5}{2}$

b) Do triângulo ABC, temos:

$(C_1A)^2= (C_1C_2)cdot(C_1M)$

$(2)^2= left (frac{5}{2} ight )cdot(C_1M)$

$C_1M = 4cdot frac{2}{5} = frac{8}{5}$

$C_2M = C_1C_2 - C_1M$

$C_2M = frac{5}{2} - frac{8}{5} = frac{9}{10}$

Dessa forma, conseguimos encontrar as medidas de BM e MD. Temos:

$BM = C_2B -C_2M$

$BM = frac{3}{2} - frac{9}{10} = frac{6}{10}$

$MD = C_1D -C_1M$

$MD = 2 - frac{8}{5} = frac{2}{5}$

A área da superfície do sólido obtido a partir da interseção das duas esferas é igual à soma das áreas das calotas esféricas de alturas BM e MD, determinadas nas esferas de centro C₂ e C₁, respectivamente. Portanto:

$2pi cdot(AC_1)cdot(MD) + 2pi cdot(AC_2)cdot(BM) =$

$= 2pi cdot(2)cdotleft ( frac{2}{5} ight )+ 2pi cdotleft ( frac{3}{2} ight )cdot left ( frac{3}{5} ight )=$

$= frac{17pi}{5}$

Lembrando que todas as nossas medidas estão em centímetros, por isso a área será: $frac{17pi}{5}$ cm².

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