Questão 27

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE) Considere as matrizes

$A = egin{bmatrix} a &1 &b &1 \ b & 1 & a &0 \ 0 & 2 & 0 & 0\ -a & 2 & b & 1 end{bmatrix}$ $X = egin{bmatrix} x \ y \ z \ w end{bmatrix}$ $B = egin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ b_4 end{bmatrix}$

a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX = B tenha solução única.

b) Se $a^2 - b^2 = 0$ ; $a eq 0$ e $B = [1 1 2 4]^t$ ; encontre X tal que AX = B

Gabarito:

Resolução:

a) Para termos $AX = B$ com solução única, necessitamos que $det A eq 0$ , logo:

$left| egin{array}{rrrr} a & 1 & b & 1 \ b & 1 & a & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0\ -a & 2 & b & 1 end{array} ight| eq 0 Leftrightarrow (-2)cdot left| egin{array}{rrr} a & b & 1 \ b & a & 0 \ -a & b & 1 end{array} ight| eq 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (-4)cdot a^2 eq 0 Leftrightarrow a eq 0$

Ou seja, para quaisquer valores de a e b, tais que $a eq 0$ , $AX = B$ tem solução única.

$AX= B Rightarrow left[ egin{array}{rrrr} a & 1 & b & 1 \ b & 1 & a & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0\ -a & 2 & b & 1 end{array} ight]cdot left[ egin{array}{r} x \ y\ z\ w end{array} ight] = left[ egin{array}{r} 1 \ 1\ 2\ 4 end{array} ight] Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} ax +y+bz+w=1 \ bx+y+az=1 \ 2y=2 \ -ax+2y+bz+w=4 end{cases} Rightarrow egin{cases} 2ax -y=-3 \ bx+y+az=1 \ y=1 \ -ax+2y+bz+w=4 end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} 2ax -1=-3 \ bx+1+az=1 \ y=1 \ -ax+2(1)+bz+w=4 end{cases} Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ bx+az=0 \ y=1 \ -ax+2+bz+w=4 end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ frac{-b}{a}+az=0 \ y=1 \ -aleft ( -frac{1}{a} ight )+2+bz+w=4 end{cases} Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ z=frac{b}{a^2} \ y=1 \ 1+2+bz+w=4 end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ z=frac{b}{a^2} \ y=1 \ 3+bleft ( frac{b}{a^2} ight )+w=4 end{cases} Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ z=frac{b}{a^2} \ y=1 \ 3+frac{b^2}{a^2} +w=4 end{cases}$

Como no enunciado é dito que $a^2-b^2 = 0 Leftrightarrow a^2 = b^2$ , temos que $frac{b^2}{a^2} = 1$ , sendo assim temos:

$Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ z=frac{b}{a^2} \ y=1 \ 3+1+w=4 end{cases} Rightarrow egin{cases} x = -frac{1}{a} \ z=frac{b}{a^2} \ y=1 \ w=0 end{cases}$

Portanto, a matriz X, será:

$X = left[ egin{array}{c} -frac{1}{a} \ 1\ frac{a}{b^2}\ 0 end{array} ight]$

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