Questão 19

Matemática

Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2, 1) e C = (5, 5). Das seguintes afirmações:

I. A se encontra sobre a reta $y=-frac{3}{4}x+frac{11}{2}$

II. A está na intersecção da reta com a circunferência (x – 2)² + (y – 1)² = 25,

III. A pertence às circunferências (x – 5)² + (y – 5)² = 25 e

é (são) verdadeira(s) apenas

II.

III.

I e II.

II e III.

Gabarito: II e III.

Resolução:

I -

A está na mediatriz de $ar{BC}$

$m_{BC}=frac{5-1}{5-2}=frac{4}{3}$

$y-y_{o}=m(x-x_{o})$

$y=frac{-3}{4}x+frac{45}{8}$

Afirmativa falsa.

II -

O ponto A está contido na reta:

$y=frac{-3}{4}x+frac{45}{8}$

$d_{A,B}=d_{B,C}$ $d_{B,C}=5$

$sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$

A pertence à reta $y=frac{-3}{4}x+frac{45}{8}$ e à circunferência acima

Afirmativa verdadeira.

III -

$h=frac{5sqrt{3}}{2}$

A pertence à circunferência:

$C_{1}=(x-frac{7}{2})^{2}+(y-3)^{2}=frac{75}{4}$

A circunferência de centro M e raio $frac{5sqrt{3}}{2}$ contém o ponto A.

Tendo:

$d_{A,C}=5$ $Rightarrow$ $sqrt{(x-5)^{2}.(y-5)^{2}}=5$

Desse modo, A pertence à circunferência:

$C_{2}=(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25$

Afirmativa verdadeira.

Gabarito: e)