Questão 10

ITA 2010

Matemática

Considere o polinômio $p(x) sum_{n = 0}^{15})a_{n}x^{n}$ com coeficientes a₀ = -1 e a_n = 1 + i a_{n – 1}, n = 1, 2, ..., 15. Das afirmações:

I. p(-1) ∉ IR,

II. ∀x ∈ [-1, 1],

III. a₈ = a₄,

é (são) verdadeira(s) apenas

II.

III.

I e II.

II e III.

Gabarito: II e III.

Resolução:

I -

$p(-1)= (a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3})+(a_{4}-a_{5}+a_{6}-a_{7})+(a_{8}-a_{9}+a_{10}-a_{11})+$ $(a_{12}-a_{13}+a_{14}-a_{15})$

$p(-1)=0$

$p(-1)epsilon mathbb{R}$

Afirmativa falsa.

II -

$left | p(x) ight |leq sum_{n=0}^{15}left | a_{n}.x^{n} ight |=sum_{n=0}^{15}left | a_{n} ight |.left | x ight |^{n}leq sum_{n=0}^{15}left | a_{n} ight |$

Afirmativa verdadeira.

III -

$a_{8}=1+ia_{7}=1+i.(1+ia_{6})=1+i-a_{6}=1+i-(1+ia_{5})=i-i(1+ia_{4})=a_{4}$

Afirmativa verdadeira.

Gabarito: e)

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