Questão 7

Matemática

(ITA - 2010 - 1ª FASE)

A equação em x,

$arctg(e^{x} + 2) - arccotg(frac{e^{x}}{e^{2x}-1}) = frac{pi}{4}$ x ∈ IR {0},

admite infinitas soluções, todas positivas.

admite uma única solução, e esta é positiva.

admite três soluções que se encontram no intervalo

admite apenas soluções negativas.

não admite solução.

Gabarito: admite uma única solução, e esta é positiva.

Resolução:

$arctg(e^{x}+2)=alpha$ $arctog(frac{e^{x}}{e^{2x}-1})=eta$

$tgalpha =(e^{x}+2)$ $cotgeta =(frac{e^{x}}{e^{2x}-1})$

$tgeta =(frac{e^{2x}-1}{e^{x}})$ $alpha - eta =frac{pi}{4}$

Substituíndo $e^{x}=a$

$tg(alpha-eta)=frac{(a+2)-(frac{a^{2}-1}{a})}{1+(a+2)(frac{a^{2}-1}{a})}=1$

$a^{3}+2a^{2}-2a-3=0$

Sabendo que -1 é raiz podemos aplicar Briot-Ruffini:

$a^{2}+a-3=0$

$a=frac{-1pm sqrt{13}}{2}$

Tendo em vista que $a=e^{x}>0 forall xepsilon mathbb{R}$

Temos como única solução possível:

$x=In(frac{sqrt{13}-1}{2})$

A equação em questão admite uma única solução, e esta é positiva.

Gabarito: b)

(ITA - 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x ∈ A ∩ B é: x ∉ A ou x ∉ B. II. A...

Se z é uma solução da equação em , pode-se afirmar que

Os argumentos principais das soluções da equação em z, pertencem a

(ITA - 2010) Considere a progressão aritmética (a1, a2, ..., a50) de razão d. Se e , então d – a1 é igual a