Questão 15

ITA 2008

Física

(ITA - 2008 - 1a Fase) No estudo de ondas que se propagam em meios elásticos, a impedância característica de um material é dada pelo produto da sua densidade pela velocidade da onda nesse material, ou seja, z = μ v . Sabe-se, também, que uma onda de amplitude a₁ , que se propaga em um meio 1 ao penetrar em uma outra região, de meio 2, origina ondas, refletida e transmitida, cuja amplitudes são, respectivamente:

$a_{r} = left [ frac{frac{z_{1}}{z_{2}}-1}{frac{z_{1}}{z_{2}}+1} ight ]a_{1}$ $a_{t} = left [ frac{2}{1+frac{z_{2}}{z_{1}}} ight ]a_{1}$

Num fio, sob tensão τ, a velocidade da onda nesse meio é dada por . Considere agora o caso de uma onda que se propaga num fio de densidade linear μ (meio 1) e penetra num trecho desse fio em que a densidade linear muda para 4μ (meio 2). Indique a figura que representa corretamente as ondas refletidas (r) e transmitida (t).

Gabarito:

Resolução:

Vamos calcular a velocidade nos dois meios v_re v_t:

$\ v= sqrt{ frac{ au}{mu }} \ \ v_r= sqrt{ frac{ au}{mu }} / v_t= sqrt{ frac{ au}{4mu }}Rightarrow v_t= frac{1}{2} sqrt{ frac{ au}{mu }}$

isso quer dizer que

$v_t= frac{v_r}{2}Rightarrow v_r=2v_t$

Como temos a seguinte relação:

$z= mu .v$

isso implica que:

$\ z_1= mu .v_r / z_2 = mu .v_t Rightarrow z_1= mu .2.v_t / z_2=4mu .v_t \ z_2=2z_1$

Agora basta substituir na formula de a_r e a_t:

$\ a_{r} = left [ frac{frac{z_{1}}{z_{2}}-1}{frac{z_{1}}{z_{2}}+1} ight ]a_{1}Rightarrow a_{r} = left [ frac{frac{z_{1}}{2z_1}-1}{frac{z_{1}}{2z_1}+1} ight ]a_{1} \ \ \ a_{r} = left [ frac{frac{1}{2}-1}{frac{1}{2}+1} ight ]a_{1}Rightarrow a_r=frac{-frac{1}{2}}{frac{3}{2}} a_1Rightarrow a_r=-frac{a_1}{3}$

Conseguimos ter a expressão que a onde refletida terá um terço do tamanho da onda e ela está invertida.

Agora para a segunda onda

$\ a_{t} = left [ frac{2}{1+frac{z_{2}}{z_{1}}} ight ]a_{1}Rightarrow a_{t} = left [ frac{2}{1+frac{2z_{1}}{z_{1}}} ight ]a_{1}Rightarrow a_{t} = left [ frac{2}{1+2} ight ]a_{1} \ \ \ a_{t} = frac{2a_{1}}{3}$

Então ela é maior que a onda refletida e está para cima xD

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