Questão 6

ITA 2008

Física

(ITA - 2008 - 1a Fase) Uma partícula P₁ de dimensões desprezíveis oscila em movimento harmônico simples ao longo de uma reta com período de 8/3 s e amplitude a. Uma segunda partícula, P₂, semelhante a P₁, oscila de modo idêntico numa reta muito próxima e paralela à primeira, porém com atraso de π/12 rad em relação a P₁. Qual a distância que separa P₁ de P₂, 8/9 s depois de P₂ passar por um ponto de máximo deslocamento?

1,00 a

0,29 a

1,21 a

0,21 a

1,71 a

Gabarito:

0,21 a

Resolução:

Sabemos que a formula de movimento harmônico:

$x(t)= A.cos(wt+ varphi )$

Com isso já que a primeira está adiantada em relação a segunda vamos escrever suas equações da seguinte maneira:

$x_1(t)= A.cos(wt+ frac{pi}{12} )$

sabendo que $w=frac{2 pi}{T}$ podemos substituir pelos valores fornecidos no enunciado:

$x_1(t)= A.cos(frac{2 pi}{frac{8}{3}}t+ frac{pi}{12} )Rightarrow x_1(t)= A.cos(frac{3 pi}{4}t+ frac{pi}{12} )$

E a segunda particula será:

$x_2= A .cos(frac{ 3 pi}{4}t)$

Sabendo que o primeiro máximo da partícula é quando a partícula está na metade do período t=T/2, então vamos calcular quanto vale esse tempo:

$t=frac{T}{2}Rightarrow t=frac{frac{8}{3}}{2}Rightarrow t=frac{8}{6}s$

Porém queremos calcular a distância depois de ter passado 8/9s depois desse máximo logo

$t=frac{8}{6}+frac{8}{9}Rightarrow t= frac{20}{9}s$

Agora basta calcular a posição de cada partícula nesse tempo:

$\x_1(t)= A.cos(frac{3 pi}{4}t+ frac{pi}{12} )Rightarrow x_1(t)= A.cos(frac{3 pi}{4}.frac{20}{9}+ frac{pi}{12} )Rightarrow \ \ x_1(t)= A.cos(frac{5 pi}{3}+ frac{pi}{12} )Rightarrow\ \ x_1(t)= A.cos(frac{21 pi}{12} )= x_1(t)= A.cos(315^o) \ \ Cos(315) =cos(-45) = frac{sqrt{2}}{2} \ \ x_1=a.frac{sqrt{2}}{2}$

Mesma coisa faremos com a segunda partícula:

$\x_2= A .cos(frac{ 3 pi}{4}t)Rightarrow x_2= A .cos(frac{ 3 pi}{4}. frac{20}{9})Rightarrow x_2= A .cos(frac{ 20 pi}{12} ) \ \cos(frac{ 20 pi}{12})= cos(300)=cos(-60)=frac{1}{2}\ \ x_2=frac{a}{2}$

Agora basta fazer x1-x2 que nos fornece aproximadamente x1=0,7a e x2=0,5a assim temos que x1-x2=0,2a

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