Questão 9

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z⁵ é igual a 1. Sendo z³ + z² + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é igual a

Gabarito: 7.

Resolução:

1) Como Q(z) é de quinto grau: $Q(z)=(az^2+bz+c)(z^3+z^2+z+1)$ .

⇒ $Q(0)=c cdot 1=c=2$ → $c=2$

⇒ $Q(1)=(a+b+c)(1+1+1+1)=(a+b+2)cdot 4=8$ → $a+b=0$

⇒ Coeficiente de $z^5$ é 1 → $a=1$

Logo, $Q(z)=(z^2-z+2)(z^3+z^2+z+1)$

2) Raízes de $z^2-z+2=0$ .

$Delta=1-8=-7$

$z=frac{1pm sqrt{7}i}{2}$ → Soma dos quadrados dos módulos: $S_1=2 cdot left ( frac{1}{4}+frac{7}{4} ight )=4$

3) Raízes de $z^3+z^2+z+1=0$

$z^2(z+1)+(z+1)=0$

$(z+1)(z^2+1)=0$

$z=-1$ ou $z=pm i$ → Soma dos quadrados dos módulos: $S_2=1+1+1=3$

4) Soma: $S=4+3=7$

Alternativa correta é Letra B.

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