Questão 14

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Assinale a opção que indica a soma dos elementos de $A cup B$ , sendo.

$A=left { x_k=sen^2left ( frac{k^2pi}{24} ight ) : k = 1,2 ight }$ e

$B=left { y_k=sen^2left ( frac{(3k+5)pi}{24} ight ) : k = 1,2 ight }$

$left ( 2-sqrt{2+sqrt{3}} ight )/3$

$left ( 2+sqrt{2-sqrt{3}} ight )/3$

Gabarito:

Resolução:

$k = 1$

$A = sen^2 frac{pi}{24}$

$B = sen^2 frac{pi}{3}$

$k = 2$

$A = sen^2 frac{pi}{6}$

$B = sen^2 frac{11pi}{24}$

Lembrando que sen(x) = cos(90-x):

$sen^2 frac{11pi}{24}= cos^2 frac{pi}{24}$

Assim, a união será:

$sen^2 frac{pi}{24} + cos^2frac{pi}{24} + sen^2 frac{pi}{6} + sen^2 frac{pi}{3}$

Lembrando da relação trigonométrica fundamental: $sen^2x+cos^2x = 1$

$1 + sen^2 frac{pi}{6} + sen^2 frac{pi}{3}$

$1 + (frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt{3}}{2})^2$

$1 + frac{1}{4} + frac{3}{4}$

$1 + 1 = 2$

Alternativa C.

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