Questão 10

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio $9x^2 - 63x + c$ , numa diferença de dois cubos $(x + a)^3 - (x + b)^3$ .

Neste caso, $|a + |b| - c|$ é igual a

A

104.

B

114.

C

124.

D

134.

E

144.

Gabarito: 114.

Resolução:

o $9x^2 - 63x + c$ , numa diferença de dois cubos $(x + a)^3 - (x + b)^3$ .

Neste caso, $|a + |b| - c|$ é igual a

1) Sabemos que $m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$ . Logo:

$(x + a)^3 - (x + b)^3=(x+a-x-b)[(x+a)^2+(x+a)(x+b)+(x+b)^2]$

$(x + a)^3 - (x + b)^3=(a-b)[x^2+a^2+2ax+x^2+bx+ax+ab+x^2+2bx+b^2]$

$(x + a)^3 - (x + b)^3=(a-b)[3x^2+x(3a+3b)+a^2+ab+b^2]$

$(x + a)^3 - (x + b)^3=3(a-b)x^2+x(3a+3b)(a-b)+(a^2+ab+b^2)(a-b)$

2) Igualando a equação acima com $9x^2 - 63x + c$ :

$3(a-b)x^2+x(3a+3b)(a-b)+(a^2+ab+b^2)(a-b)=9x^2-63x+c$

$3(a-b)x^2+3(a^2-b^2)x+(a^3-b^3)=9x^2-63x+c$

$left{egin{matrix} 3(a-b)=9\ 3(a^2-b^2)=-63 \ a^3-b^3=c end{matrix} ight.$

$a-b=3$ → $a=3+b$

$a^2-b^2=-21$

$9+b^2+6b-b^2=-21$

$6b=-30$

$b=-5$ e $a=-2$

$a^3-b^3=c$

$-8-(-125)=117=c$

3) $S=|a + |b| - c|$

$S=|-2 + |-5| - 117|$

$S=|-119+5|$

$S=114$

Alternativa correta é Letra B.

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