Questão 17

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas a seguir, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P : (x, y) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C.

x² + y² - 2xy - 2ax - 2ay + 3a² = 0

x² + y² + 2xy + 2ax + 2ay + 3a² = 0

x² + y² - 2xy + 2ax + 2ay + 3a² = 0

x² + y² - 2xy - 2ax - 2ay - 3a² = 0

x² + y² + 2xy - 2ax - 2ay - 3a² = 0

Gabarito:

x² + y² - 2xy - 2ax - 2ay + 3a² = 0

Resolução:

$\ extrm{Reta que passa por A e B: }\\m_{AB}=frac{a-0}{0-a}=-1;;;;;;;;Rightarrow ;;y=-1(x - a);;;;;;;;;; herefore fbox{y=-x + a}$

$extrm{Distancia de P a reta: }\\D=frac{|x+y-a|}{sqrt{1+1}} Rightarrow D=frac{|x+y-a|}{sqrt{2}}$

$\ extrm{Distancia de P a C: }\\d=sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}$

$\D=d;;;;Rightarrow ;;D^2=d^2;;;;;;Rightarrow \\frac{x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay}{2}=(x-a)^2+(y-a)^2\\x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay=2x^2-4ax+2a^2+2y^2-4ay+2a^2\\\x^2+y^2-2xy-2ax-2ay+3a^2=0$

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