Questão 27

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 27)

Considere um triângulo isósceles $ABC$ , retângulo em $B$ . Sobre o lado $overline{BC}$ , considere, a partir de $B$ , os pontos $D$ e $E$ , tais que os comprimentos dos segmentos $overline{BC}$ , $overline{BD}$ , $overline{DE}$ , $overline{EC}$ , nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se $eta$ for o ângulo $Ewidehat{A}D$ , determine $an eta$ em função da razão $r$ da progressão.

Gabarito:

Resolução:

Como o triângulo é isósceles: $AB=xr^3$ .

$tan(Bhat{A}D)=frac{r^2}{r^3}=frac{1}{r}$

$tan(Bhat{A}E)=frac{r+r^2}{r^3}=frac{1+r}{r^2}$

Assim:

$tan(eta)=tan(Bhat{A}E-Bhat{A}C)$

$tan(eta)=frac{frac{1+r}{r^2}-frac{r}{r^2}}{1+frac{1}{r}cdot frac{1+r}{r^2}}$

$tan(eta)=frac{frac{1}{r^2}}{frac{r^3+1+r}{r^3}}$

$tan(eta)=frac{r}{1+r+r^3}$

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