Questão 24

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 24)

Considere a equação:

$sqrt{x^{2}-p}+2sqrt{x^{2}-1}=x$

(a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raízes reais?

(b) Determine todas essas raízes reais.

Gabarito:

Resolução:

A) • Condições de existência:

i) $x^2-p geq 0$ : $x^2 geq p$

ii) $x^2 - 1 geq 0$ : $x^2 geq 1$

• $sqrt{x^{2}-p}+2sqrt{x^{2}-1}=x$

$sqrt{x^{2}-p}=x -2sqrt{x^{2}-1}$

$x^{2}-p=x^2 +4(x^{2}-1)-4xsqrt{x^2-1}$

$4xsqrt{x^2-1}=4(x^{2}-1)+p$

$16x^2(x^2-1)=16(x^4-2x^2+1)+p^2+8p(x^2-1)$

$16x^4-16x^2=16x^4-32x^2+16+p^2+8px^2-8p$

$(16-8p)x^2=16+p^2-8p$

$8(2-p)x^2=(p-4)^2$

$x^2=frac{(p-4)^2}{8(2-p)}$

• $x^2=frac{(p-4)^2}{8(2-p)} geq 1$

$p^2-8p+16 geq 16-8p$

$p^2 geq 0$

• $x^2=frac{(p-4)^2}{8(2-p)} geq p$

$frac{p^2-8p+16-16p+8p^2}{8(2-p)} geq 0$

$frac{9p^2-24p+16}{8(2-p)} geq 0$

$frac{(3p-4)^2}{8(2-p)} geq 0$ → $p leq 2$

• $sqrt{x^{2}-p}+2sqrt{x^{2}-1}=x$

$x^2-p+4x^4-4+4sqrt{2(x^2-p)(x^2-1)}=x^2$

$4sqrt{2(x^2-p)(x^2-1)}=4+p-4x^2geq 0$

$x^2leq frac{4+p}{4}$

• $x^2=frac{(p-4)^2}{8(2-p)}leq frac{4+p}{4}$

$frac{p^2-8p+16-2(2-p)(4+p)}{8(2-p)} leq0$

$frac{p^2-8p+16-16-4p+8p+2p^2}{8(2-p)} leq0$

$p^2-8p+16-16-4p+8p+2p^2 leq0$

$3p^2-4p leq0$

$p(3p-4) leq0$

$0 leq pleq frac{4}{3}$ ⇒ Resposta Letra A

B) Considerando que $0 leq pleq frac{4}{3}$ :

$x^2=frac{(p-4)^2}{8(2-p)}$

$x=pm frac{(p-4)}{2sqrt{2(2-p)}}$

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