Questão 13

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Seja x um número real no intervalo $0 < x < pi/2$ . Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade

$frac{1}{2}tgleft ( frac{pi}{2}-x ight )-sqrt{3}left ( cos^2 frac{x}{2}-frac{1}{2} ight ) sec(x)geq 0$

$pi /2$

$pi /3$

$pi /4$

$pi /6$

$pi /12$

Gabarito:

$pi /6$

Resolução:

Para o intervalo $0 < x < pi/2$ , temos que $sen(frac{pi}{2}-x)=cos(x)$ e $cos(frac{pi}{2}-x)=sen(x)$ . Assim:

$frac{1}{2}tgleft ( frac{pi}{2}-x ight )-sqrt{3}left ( cos^2 frac{x}{2}-frac{1}{2} ight ) sec(x)geq 0$

$frac{1}{2}frac{cos(x)}{sen(x)}-sqrt{3}left ( cos^2 frac{x}{2}-frac{1}{2} ight ) sec(x)geq 0$

Além disso, tem-se que:

$cos(x)=2cos^2(frac{x}{2})-1$

$frac{cos(x)}{2}=cos^2(frac{x}{2})-frac{1}{2}$

Substituindo na equação:

$frac{1}{2}frac{cos(x)}{sen(x)}-sqrt{3}cdot frac{cos(x)}{2}cdot frac{1}{cos(x)}geq 0$

$frac{1}{2tan(x)}-frac{sqrt{3}}{2}geq 0$

$frac{1}{tan(x)}geq sqrt{3}$

$sqrt{3}tan(x)leq 1$

$tan(x)leq frac{1}{sqrt{3}}$

$0 leq x leq frac{pi}{6}$

Comprimento do menor intervalo: $frac{pi}{6}$

Alternativa correta é Letra D.

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