Questão 6

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo

A

$(0, (1 + sqrt2)/2)$

B

$left ( (1+sqrt{2})/2 ,sqrt{(1+sqrt{5})/2} ight )$

C

$left ( sqrt{(1+sqrt{5})/2} ,{(1+sqrt{5})/2} ight )$

D

$left ( (1+sqrt{5})/2 ,{sqrt{2+sqrt{2}/2})} ight )$

E

$left ( {sqrt{2+sqrt{2}/2})} , (2+sqrt{3})/2) ight )$

Gabarito:

$left ( sqrt{(1+sqrt{5})/2} ,{(1+sqrt{5})/2} ight )$

Resolução:

1) Condição de existência do triângulo:

$xr^2< x+xr$

$r^2-r-1<0$

$r=frac{1pmsqrt{5}}{2}$

Intervalo 1: $0 < r< frac{1+sqrt{5}}{2}$

2) Como o triângulo é obtusângulo, ele não segue o Teorema de Pitágoras, mas segue a seguinte inequação:

$(xr^2)^2> x^2+(xr)^2$

$r^4-r^2-1>0$ , chamando $r^2$ de y:

$y^2-y-1>0$

$y< frac{1-sqrt{5}}{2}$ → $r^2< frac{1-sqrt{5}}{2}$ , não há solução

$y> frac{1+sqrt{5}}{2}$ → $r^2> frac{1+sqrt{5}}{2}$

Intervalo 2: $r> sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$

3) Juntando os dois intervalos:

$sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}} < r < frac{1+sqrt{5}}{2}$

Alternativa correta é Letra C.

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