Questão 5

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o cı́rculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do cı́rculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B/H é uma raiz do polinômio

$pi^3x^3+pi^2x^2+pi x-2=0$

$pi^2x^3+pi^3x^2+x+1=0$

$pi^3x^3-pi^2x^2+pi x+2=0$

$pi x^3-pi^2x^2+2pi x -1 = 0$

$x^3-2pi^2x^2+pi x-1=0$

Gabarito:

$pi x^3-pi^2x^2+2pi x -1 = 0$

Resolução:

⇒ Área do retângulo: $A_1=BH$

⇒ Área do triângulo: $A_2=frac{BH}{2}$

⇒ Área da circunferência:

$frac{AO}{AC}=frac{OT}{MC}$

$frac{H-R}{sqrt{H^2+frac{B^2}{4}}}=frac{R}{frac{B}{2}}$

$frac{H-R}{R}=frac{sqrt{4H^2+B^2}}{B}$

$frac{H}{R}-1=sqrt{frac{4H^2}{B^2}+1}$

♦ Pelas relações ditas no enunciado:

$frac{A_1}{A_2}=frac{A_2}{A_3}$

$A_1A_3=A_2^2$

$BHcdot pi R^2=frac{B^2H^2}{4}$

$R= sqrt{frac{BH}{4pi} }$

♦ Substituindo R na equação acima:

$frac{H}{R}-1=sqrt{frac{4H^2}{B^2}+1}$

$sqrt{frac{4pi H}{B}}-1=sqrt{frac{4H^2}{B^2}+1}$

Chamando $frac{B}{H}$ de x:

$sqrt{frac{4pi }{x}}-1=sqrt{frac{4}{x^2}+1}$

$frac{4pi }{x}+1-4sqrt{frac{pi}{x}}=frac{4}{x^2}+1$

$frac{pi }{x}-frac{1}{x^2}=sqrt{frac{pi}{x}}$

$frac{pi ^2}{x^2}+frac{1}{x^4}-frac{2pi}{x^3}=frac{pi}{x}$

$pi ^2x^2+1-2pi x=pi x^3$

$pi x^3-pi^2x^2+2pi x-1=0$

Alternativa correta é Letra D.

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