Questão 8011

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Sobre o polinômio p(x) = x⁵ - 5x³ + 4x² - 3x - 2 podemos afirmar que

x = 2 não é raiz de p.

p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.

p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.

p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.

p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.

Gabarito: p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.

Resolução:

Temos as seguintes raízes:

p(x) = x⁵ - 5x³ + 4x² - 3x - 2

$p(2) = 32-40+16-6-2 = 0$

Então 2 é raiz do polinômio, portanto, temos:

2 | 1 0 -5 4 -3 -2

1 2 -1 2 1 0

$p(x ) = x^{4} + 2x^{3} -x^{2} +2x +1$

Portanto, temos:

$(x-2)( x^{4} + 2x^{3} -x^{2} +2x +1) = p(x)$

$p(x) = 0$

$\ x-2 = 0 \ \ x = 2$

________________

$\ x^{4} +2x^{3} -x^{2} +2x +1 = 0 \ \ x^{2} +2x-1 + frac{2}{x} + frac{1}{x^{2} } = 0$

$(x^{2} +frac{1}{x^{2}})+2(x+frac{1}{x}) -1= 0$

Se $x+frac{1}{x} = y$ então:

$x^{2} + frac{1}{x} +2 = y^{2}$

$x^{2} + frac{1}{x^{2}} = y^{2} -2$

Vamos substituir x + 1/x por y, então:

$\ (y^{2} -2) +2y -1 = 0 \ \y^{2} +2y -3 = 0 \ \ y = -3 ou y = 1$

Se y = -3 , temos :

$\ x + frac{1}{x} = -3 \ \ x^{2} +3x +1 = 0 \ \ x = frac{-3 pm sqrt{5}}{2}$

Se y = 1, portanto:

$x+frac{1}{x} = 1 \ \ x^{2} -x +1 = 0 \ \ x = frac{1pm sqrt{3}i}{2}$

Temos que o conjunto de p(x) é:

$2 ; frac{-3+sqrt{5}}{2} ; frac{-3- sqrt{5}}{2} ; frac{1+sqrt{3}i}{2}; frac{1- sqrt{3}i}{2}$

Gabarito: E

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