Questão 7

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006)

Considere as seguintes afirmações sobre a expressão

$S=sum_{k=0}^{101}log_{8}(4^ksqrt{2})$

I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita

ll. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão

III. S = 3451

IV. S ≤ 3434 + log₈

Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas

A

I e III

B

II e III

C

II e IV

D

II

E

III

Gabarito:

II e III

Resolução:

$S = sum _{k=0}^{101} log_8 (4^k sqrt{2})$

$S =log_8 (4^0 sqrt{2}) + log_8 (4^1 sqrt{2}) +log_8 (4^2 sqrt{2})+...+log_8 (4^{101} sqrt{2})$

$S =log_8 (4^0 sqrt{2} cdot 4^1 sqrt{2} cdot 4^2 sqrt{2} cdot ... cdot 4^{101} sqrt{2})$

$S =log_8 (4 ^{ 0+1+2+...101}cdot sqrt{2}^{102})$

Pela soma dos termos de uma PA:

$0+1+2+...+101=frac{ (0+101)102}{2} = 5151$

$S =log_8 (4 ^{ 5151}cdot sqrt{2}^{102})$

$S =log_8 (2 ^{2cdot 5151}cdot 2^{frac{102}{2}})$

$S =log_8 (2 ^{10302}cdot 2^{51})$

$S =log_8 (2 ^{10353})$

$8^S = (2 ^{10353})$

$2^{3S} = (2 ^{10353})$

$3S = 10353$

$S = 3451$

Analisando cada afirmação:

I) Falso, podemos conferir no primeiro passo, utilizando diferentes valores de k que S é uma progressão aritmética:

$S =log_8 (4^0 sqrt{2}) + log_8 (4^1 sqrt{2}) +log_8 (4^2 sqrt{2})+...$

$S =frac{1}{6}+frac{5}{6}+frac{9}{6}...$

A razão é $frac{4}{6}= frac{2}{3}$

II) Correto, visto na última afirmação.

III) Correto, encontrado no começo do exercício.

IV) Falso, pois a soma dada equivale a $3434 + frac{1}{6}$ , o que é menor que o valor 3541 encontrado.

Alternativa B.

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