Questão 19

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Os focos de uma elipse são F₁(0, - 6) e F₂(0, 6). Os pontos A (0, 9) e B (x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F₁ e F₂ é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) Interpretando os pontos fornecidos no enunciado:

2) Podemos perceber que a medida do eixo maior será 18. Logo, a=9.

3) Podemos perceber que a distância focal é 12. Logo, c=6

4) Com isso, como a² = b² + c². Temos que 9² - 6² = b

b² = 81 - 36 = 45

b = $sqrt{45}$ = $3sqrt{5}$

5) Logo, a equação da elipse será:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$

$frac{x^2}{45}+frac{y^2}{81}=1$

6) Para y=3,

$frac{x^2}{45}+frac{9}{81}=1$

$x^2=40$

$x_1=2sqrt{10},:x_2=-2sqrt{10}$

Como x>0, $x=2sqrt{10}$

7) Com isso, temos os três pontos do triângulo:

$F_1(0, - 6),;F_2(0, 6) ;e; B (2sqrt{10}, 3)$

8) Logo,

$A = frac{1}{2} cdot |egin{vmatrix} 0 & -6 &1 \ 0 & 6 & 1\ 2sqrt{10} & 3 & 1 end{vmatrix}|$

$A = 12sqrt{10}$

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