Questão 10

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Se α ∈ [0; 2π) é o argumento de um número complexo z ≠ 0 e n é um número natural tal que isen (nα) então, é verdade que

2nα é múltiplo de 2π.

2nα - π é múltiplo de 2π.

nα - (π/4) é múltiplo de π/2.

2nα - π é múltiplo não nulo de 2.

nα - 2 π é múltiplo de π.

Gabarito: 2nα - π é múltiplo de 2π.

Resolução:

Temos que:

$z = |z| . [cos{alpha} +i senalpha] , temos$

$frac{z}{|z|} = [cos alpha + i sen alpha] \ \ (frac{z}{|z|})^{n} = cos (nalpha ) +i sen (n alpha) = i sen (nalpha) \ \ cos (nalpha) = 0 \ \ n alpha = frac{pi}{2} + k pi$

Da equação acima, podemos concluir que:

A é falsa, porque:

$\ 2n alpha = pi + 2kpi \ \ pi(1+2k)$

e veja que não é multiplo de 2pi

B é verdadeira, pois:

$\ 2n alpha - pi = 2kpi$ que é multiplo de $2pi$

C é falsa, porque:

$n alpha - frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + k pi$ que não é multiplo de $frac{pi}{4}$

D é falsa, pois:

$2n alpha - pi = 2pi k$ veja que só será multiplo de 2 se kpi pertencer aos reais que só acontece quando k = 0.

E é falsa, pois:

$n alpha -2pi = - frac{3pi}{2} + kpi$ veja que não é multiplo de pi.

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