Questão 8

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Se para todo z ∈ , e , então, para todo z ∈ , é igual a

2Re

2Im

Gabarito:

2Re

Resolução:

Será muito utilizada a seguinte propriedade dos números complexos:

$|z|^2=zoverline{z}$

Comecemos elevando ao quadrado a equação dada:

$|f(z)-f(1)|^2=|z-1|^2$

usando agora a propriedade:

$(f(z)-f(1))(overline{f(z)-f(1)})=(z-1)(overline{z-1})\\Rightarrow (f(z)-f(1))(overline{f(z)}-overline{f(1)})=(z-1)(overline{z}-1)\\Rightarrow f(z)overline{f(z)}-f(z)overline{f(1)}-f(1)overline{f(z)}+f(1)overline{f(1)}=zoverline{z}-z-overline{z}+1\\Rightarrow |f(z)|^2-f(z)overline{f(1)}-f(1)overline{f(z)}+|f(1)|^2= |z|^2-2Re{z}+1\\Rightarrow f(z)overline{f(1)}+f(1)overline{f(z)}=2Re{z}$

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