Questão 24

ITA 2006

Matemática

(ITA 2006 - 2 fase)

Determine para quais valores de x ∈ $left (-frac{pi }{2}, frac{pi }{2} ight )$ vale a desigualdade log_cosx(4sen²x - 1) - log_cosx(4 - sec²x) > 2.

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:

$x pertence (- frac{pi}{2}; frac{pi}{2})$ , então:

$\ 0 < cos x < 1 \ \ frac{pi }{2} < x < frac{pi}{2} e x eq 0$

$\ 4. sen^{2}x -1 > 0 \ \ sen(x) < -frac{1}{2} ou sen x > frac{1}{2} \ \ - frac{pi}{2} < x < - frac{pi}{6} ou frac{pi}{6} < x < frac{pi}{2}$

$\ 4-sen^{2}x > 0 \ \ sec^{2}x < 4 \ \ -2 < sec x < 2 \ \ -2 < frac{1}{cosx } < 2 \ \ cos x > frac{1}{2} (pois cos x > 0 )$

$- frac{pi}{3}< x < frac{pi}{3}$

Nas condições acima temos:

$\ log_{cosx} (frac{4.sen^{2}x-1}{4- frac{1}{cos^{2}-1}}) < 1 \ \ 4. sen^{2} x -1 < 4.cos^{2}x -1 \ \ sen^{2} x < cos^{2} x \ \ tg^{2}x < 1 \ \ -1 < tg x < 1 \ \ frac{-pi}{4} < x < frac{pi}{4}$

Colocando as condições de existência, temos:

$- frac{ pi}{4} < x < - frac{pi}{6} ou frac{pi}{6} < x < frac{pi}{4}$

Questões relacionadas

Questão 2

(ITA - 2006 - 1a fase) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: ...

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2006 - 1a fase) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BA), n(AB) e n(A ∩ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de raz&at...

Ver questão

Questão 7

(ITA - 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita ll. S é a soma...

Ver questão

Questão 11

(ITA - 2006 - 1a fase) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear é:

Ver questão