Questão 21

ITA 2006

Matemática

(ITA 2006 - 2 fase)

Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A₁, ... , A_m} ⊂ P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas:

$I. A_{1} eq phi , i = 1, ... , m$

$II. A_{1} cap A_{j} = phi , se i eq j,$ para $i, j = 1, ..., m$

$III. A = A_{1} cup A_{2} cup ... cup A_{m}$

Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(A₁) = k, i = 1, ..., m. Supondo n(A) = 8 determine:

a) As ordens possíveis para uma partição de A.

b) O número de partições de A que têm ordem 2.

Gabarito:

Resolução:

a) Quando dizemos que F é uma partição de ordem k, então significa dizer que todos os conjuntos Ai que compõem a partição possuem k elementos distintos:

Como:

$\ A_{i} cap A_{j} = varnothing se i eq j e \ \ A= A_{1} cup A_{2} cup ... A_{m} , para i, j = 1 , ...n$

Então temos que resulta em:

$n(A) = n(A_{1}) + n(A_{2}) + ... + n (A_{m}), temos:$

$\ 8 = k +k +...+k \ \ 8 = m.k$

Veja que k e m são divisores naturais de 8.

Com isso podemos ter :

k = 1 e m = 8

k = 8 e m = 1

k = 2 e m = 4

k = 4 e m = 2

Então os possíveis valores de partição são: 1,2,4 e 8

$frac{C_{8,2} . C_{6,2} . C_{2,2} . C_{4,2 }}{P_{4}} = frac{28.15.6.1}{24} = 105$

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