Questão 9

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

O conjunto solução de $left ( an^{2}x - 1 ight )left(1 - cot^{2}x ight ) = 4, x eq frac{kpi}{2}, kin mathbb{Z}$ é:

$left { frac{pi}{3} + frac{kpi}{4}, k in mathbb{Z} ight }$

$left { frac{pi}{4} + frac{kpi}{4}, k in mathbb{Z} ight }$

$left { frac{pi}{6} + frac{kpi}{4}, k in mathbb{Z} ight }$

$left { frac{pi}{8} + frac{kpi}{4}, k in mathbb{Z} ight }$

$left { frac{pi}{12} + frac{kpi}{4}, k in mathbb{Z} ight }$

Gabarito:

$left { frac{pi}{8} + frac{kpi}{4}, k in mathbb{Z} ight }$

Resolução:

$Para x eq k. frac{pi}{2}$ , temos que k pertence aos inteiros, temos :

$(tg^{2}x-1)(1-cotg^{2}x) = 4 \ \$

$\ frac{sen^{2}x- cos^{2}x}{cos^{2}x}. frac{sen^{2}x-cos^{2}x}{sen^{2}x} = 4$

$\ (sen ^{2} x - cos^{2}x)^{2} = 4 sen^{2} x . cos^{2}x \ \ cos^{2} (2x) = sen^{2}2x \ \ tg^{2}(2x) = 1$

$tg(2x) = pm 1 \ \ 2x = frac{pi}{4} + k. frac{pi}{2}$

Portanto, temos:

$x = frac{pi}{8} + k . frac{pi}{4}$

O conjunto solução é:

$[frac{pi}{8}+ k . frac{pi}{4}]$

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