Questão 17

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Na circunferência $C_{1}$ de raio $r_{1}$ = 3cm está inscrito um hexágono regular $H_{1}$ ; em $H_{1}$ está inscrita uma circunferência $C_{2}$ ; em $C_{2}$ está inscrito um hexágono regular $H_{2}$ e, assim, sucessivamente. Se $A_{n}$ em $cm^{2}$ é a área do hexágono $H_{n}$ , então $sum_{n=1}^{infty } A_{n}$ em $cm^{2}$ é igual a:

$54sqrt{2}$

$54sqrt{3}$

$36left(1+ sqrt{3} ight )$

$frac{27}{2 - sqrt{3}}$

$30left( 2 + sqrt{3} ight)$

Gabarito:

$54sqrt{3}$

Resolução:

Sabemos que as três diagonais maiores de um hexágono regular dividem em 6 triângulos equiláteros, então:

$\ A_{1} = frac{6 r_{1}^{2}. sqrt{3}}{4} e r_{2} = frac{r_{1}sqrt{3}}{2}$

$\ A_{2} = frac{6 r_{2}^{2}. sqrt{3}}{4} = frac{6(r_{1}frac{sqrt{3}}{2})^{2} sqrt{3}}{4} = frac{3}{4} A_{1}$

Temos que analogamente:

$A_{n+1} = frac{3}{4} . A_{n}$

Portanto:

$sum_{n=1 }^{infty} = A_{1} + frac{3}{4}A_{1} + (frac{3}{4}A_{1})^{2} + (frac{3}{4})^{3} A_{1} +...$

Isso é uma soma de PG infinita, portanto:

q :

-1 < q = 3/4 < 1

Com isso:

$sum_{n=1 }^{infty} A_{n} = frac{A_{1}}{1-q} = frac{A_{1}}{1-frac{3}{4}} = 4A_{1}$

$sum_{n=1 }^{infty} A_{n} = 4. frac{6r_{1}^{2}sqrt{3}}{4} = 6r_{1}^{2}sqrt{3} = 54 sqrt{3} cm^{2}$

Gabarito: B

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