Questão 18

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Sejam a reta s : $12x - 5y + 7 = 0$ e a circunferência C : $x^{2} + y^{2} + 4x + 2y = 11$ . A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo

$left ( frac{-91}{12},frac{-81}{12} ight )$

$left(frac{-81}{12}, frac{-74}{12} ight )$

$left(frac{-74}{12}, frac{30}{12} ight )$

$left(frac{30}{12},frac{74}{12} ight )$

$left(frac{75}{12},frac{91}{12} ight )$

Gabarito:

$left(frac{-74}{12}, frac{30}{12} ight )$

Resolução:

A circunferência $x^{2} + y^{2} + 4x + 2y = 11$ tem centro (-2, -1) e raio igual a 4.

Temos que a reta p, perpendicular a s e tem equação: $5x + 12y + k = 0$

e será secante à circunferência quando $d_{p, C} < 4$

Portanto:

$\ \ frac{5.(-2)+12.(-1)+k}{sqrt{5^{2}+12^{2}}} < 4 \ \ frac{|k-22|}{13} < 4 \ \ |k-22| < 52 \ \ -52 < k -22 < 52 \ \ -30 < k < 74$

Com isso a reta p intercepta o eixo t num ponto cuja ordenada é -k/12

Se -30 < k < 74, então -74 < -k < 30 e :

$frac{-74}{12} < frac{-k}{12} < frac{30}{12}$

Então a ordenada do ponto em que a reta p corta o eixo y petence ao intervalo:

$(frac{-74}{12}; frac{30}{12})$

Gabarito: C

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