Questão 16

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Considere o polinômio p(x) = x³ - (a + 1)x + a, onde a ∈ . O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é

{2n, n ∈ IN}

{4n², n ∈ IN}

{6n² - 4n, n ∈ IN}

{n(n + 1), n ∈ IN}

Gabarito: {n(n + 1), n ∈ IN}

Resolução:

$\ p(x) = x^{3} -(a+1)x + a \ \ p(x) =x^{3}-x^{2} +x^{2} -ax -x-a = 0 \ \ p(x) = x^{2} (x-1) +x(x-1)-a(x-1) \ \p(x) = (x-1)(x^{2} +x-a)$

$\ p(x) = 0 \ \ x-1 = 0 ou x^{2} +x-a = 0$

Então as raízes da segunda equação serão reais se, somente se, delta for 1 + 4a maior ou igual a 0

$1+4a geq 0$ sendo que a pertence aos inteiros e consequentemente aos naturais.

Para a pertencente aos naturais, temos que as raizes inteiras forem m e n, temos:

$\ m + n = -1 \ \ m.n = -a \$

_____________

$\ m = -1-n \ \ (-1-n ). n = -a$

____________

$\ m = -n - 1 \ \ a = n (n+1)$

As raizes inteiras serão, portanto, 1, n e -n -1, desde que a = n (n+1) e n pertence aos numeros naturais.

Questões relacionadas

Questão 2

(ITA - 2006 - 1a fase) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: ...

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2006 - 1a fase) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BA), n(AB) e n(A ∩ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de raz&at...

Ver questão

Questão 7

(ITA - 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita ll. S é a soma...

Ver questão

Questão 11

(ITA - 2006 - 1a fase) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear é:

Ver questão