Questão 7286

ITA 1975

Matemática

(ITA - 75) Seja S o conjunto das soluções do sistema de desigualdades:

2x + y - 3 > 0

x - 2y + 1 < 0

y - 3 < 0

x + my - 5 < 0, onde m é real

A representação geométrica de S, em coordenadas cartesianas ortogonais (x, y), é:

um quadrilátero para qualquer m > 0

um triângulo isósceles para qualquer m < 0

um triângulo retângulo para m < 0 ou < m < 4

S é o conjunto vazio para m >

nenhuma das anteriores

Gabarito:

um triângulo retângulo para m < 0 ou < m < 4

Resolução:

$\\ ext{Veja que as três primeiras desigualdades representam regiões do plano cartesiano limitadas por retas. Ou seja:} \\ (i) ext{ a região do plano expressa por } 2x+y-3>0Leftrightarrow y>-2x+3 ext{ é a região acima da reta } y=-2x+3 ext{ (região violeta na imagem abaixo);} \\ (ii) ext{ a região do plano expressa por } x-2y+1>0Leftrightarrow y>frac{x}{2}+frac{1}{2} ext{ é a região acima da reta } y=frac{x}{2}+frac{1}{2} ext{ (região azul clara na imagem abaixo);} \\ (iii) ext{ a região do plano expressa por } y-3<0Leftrightarrow y<3 ext{ é a região abaixo da reta } y=3 ext{ (região vermelha na imagem abaixo);}$

$\\ ext{Veja que a região do plano que pertence a essas três desigualdades simultaneamente forma o triângulo rosa } ABC ext{.}$

$\\ ext{Essa questão é bem complicada, do ponto de vista conceitual! A parte de cálculos está quase terminada.\\ As coordenadas de } A,; B ext{ e } C ext{ são obtidas pela intersessão das retas convenientes, obtendo-se: } A=(1,1),;B=(5,3) ext{ e } C=(0,3) ext{} .$

$\\ ext{Agora, deve-se partir para a análise das alternativas:\\ a) está incorreta, pois existe algum valor de } m ext{ tal que } S ext{ não é um quadrilátero. Por exemplo, se } m=1 ext{, então } S ext{ é o próprio triângulo retângulo } ABC ext{;\\ b) está incorreta, pois para } S ext{ ser um triângulo isósceles, é um caso muito específico, não valendo para todos os valores de } m ext{ negativos. Por exemplo, pegue } m=-2018 ext{;}$

$\\ ext{c) está correta, uma vez que se } m<0 ext{, a desigualdade } x+my-5<0Leftrightarrow y>-frac{x}{m}+frac{5}{m} ext{ representa toda a região do plano que está acima da reta } y=-frac{x}{m}+frac{5}{m} ext{, sendo que } S ext{ está contida nessa região. Ademais, se } frac{5}{3}<m<4 ext{, então a desigualdade } x+my-5<0Leftrightarrow y<-frac{x}{m}+frac{5}{m} ext{ representa uma região do plano que está limitada pelas retas } y_1=-frac{3x}{5}+3 ext{ e } y_2=-frac{x}{4}+frac{5}{4} ext{, ou seja, entre essas retas. Como a reta } y_2=-frac{x}{4}+frac{5}{4} ext{ passa pelo ponto } A ext{, e a reta } y_1=-frac{3x}{5}+3 ext{ está acima da } y_2 ext{, tem-se que a região } S ext{ ainda é um triângulo retângulo;\\ d) está incorreta, pois para } m=2 ext{, a região } S ext{ ainda é um triângulo retângulo;\\}$

$\\ ext{e) está incorreta, pois a letra C está correta. }$

Questão 7286

ITA 1975

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