Questão 6862

ITA 1975

Matemática

(ITA - 75) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência. Sabe-se que hat{A} = 2hat{C} , hat{B} > hat{D} e _.

Nesse caso, os valores de hat{A} , hat{B} , hat{C} , hat{D} , são respectivamente,

150º, 45º, 75º, 30º

90º, 120º, 45º, 60º

120º, 160º, 60º, 30º

120º, 120º, 60º, 60º

nenhuma das anteriores.

Gabarito: 120º, 120º, 60º, 60º

Resolução:

$\\ ext{Sejam } hat{A}=2alpha ext{, } hat{B}=eta ext{, } hat{C}=alpha ext{ e } hat{D}=gamma ext{. Como o quadrilátero é inscrito numa circunferência, então a soma dos ângulos opostos resultam em } 180^{circ} ext{ ou } pi ext{ rad. Logo:} \\ hat{A}+hat{C}=pi;;Rightarrow;;2alpha+alpha=pi;;Rightarrow;;alpha=pi/3=60^{circ}\\ herefore;;hat{A}=2alpha=120^{circ} ext{ e } hat{C}=alpha=60^{circ}\\ hat{B}+hat{D}=pi;;Rightarrow;;eta+gamma=pi;;Rightarrow;;gamma=pi-eta\\ ext{Da expressão dada no enunciado, segue que:} \\ tgetacdot tggamma+sen2alphacdot senalpha=-9/4;;Rightarrow;;tgetacdot tg(pi-eta)+sen120^{circ}cdot sen60^{circ}=-9/4$

$\\ ;;Rightarrow;;-tg^2eta+3/4=-9/4;;Rightarrow;;-tg^2eta=-12/4=-3;;Rightarrow;;tg^2eta=3\\ herefore;;tgeta=sqrt{3} ext{ ou } tgeta=-sqrt{3};;Rightarrow;;eta=120^{circ} ext{ ou } eta=60^{circ}.\\ ext{Como } hat{B}>hat{D} ext{, temos finalmente que:} \\ herefore;;oxed{hat{A}=120^{circ},;hat{B}=120^{circ},;hat{C}=60^{circ};e;hat{D}=60^{circ}}$

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