Questão 6612

ITA 1974

Matemática

(ITA - 1974) O valor da expressão x = quando cos θ = e tg θ < 0, é:

A

B

C

D

E

nenhuma das respostas anteriores

Gabarito:

nenhuma das respostas anteriores

Resolução:

1) Lembrando da tangente do arco duplo:

$an(2Theta )=frac{2 cdot an(Theta)}{1- an^2(Theta)}$

2) Logo,

$x= an(2Theta )$

$x=frac{sin(2Theta )}{cos(2Theta )}$

3)Calculando $cos(2Theta )$ :

3.1) Como $cos(2Theta )=2cos^2(Theta)-1$

$cos(2Theta )=2 cdot (-frac{3}{7})^2-1=-frac{31}{49}$

4) Calculando $sin(2Theta )$ :

4.1) Como $sin^2(Theta)+cos^2(Theta)=1$ ,

$sin(Theta)=sqrt{1-cos^2(Theta)}$

4.2) Logo, $sin(Theta)$ é

$sin(Theta)=sqrt{1-(-frac{3}{7})^2}$

$sin(Theta)=frac{2sqrt{10}}{7}$

4.3) Como $sin (2Theta) = 2 cdot sin(Theta) cdot cos(Theta)$

$sin (2Theta) = 2 cdot frac{2sqrt{10}}{7} cdot -frac{3}{7}=-frac{12sqrt{10}}{49}$

5) Logo,

$x=frac{sin(2Theta )}{cos(2Theta )}$

$large x=frac{-frac{12sqrt{10}}{49}}{-frac{31}{49}}$

$oxed{x=frac{12sqrt{10}}{31}}$

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