Questão 6817

INSPER 2016

Matemática

(INSPER - 2016) Uma matriz $X$ de tamanho 7 x 5 é tal que $det (X^t X) eq 0$ , sendo que $X^t$ representa a matriz transposta de $X$ . Nessas condições, chama-se matriz de projeção de $X$ a matriz $P$ definida como:

$P= X(X^tX)^{-1}X^t$

O tamanho da matriz $P$ e o resultado da multiplicação $PX$ são, respectivamente,

$5 x 5$ e $X^t$

$5x5$ e $X$

$5 x 7$ e $XX^t$

$7x7$ e $X^t$

$7x7$ e $X$

Gabarito:

$7x7$ e $X$

Resolução:

$\\ (1) ext{ Para o tamanho de } P ext{:} \\ (i);;X^t=(X_{7x5})^t=A_{5x7};\\ (ii);;X^tX=A_{5x7}X_{7x5}=B_{5x5};\\ (iii);;(X^tX)^{-1}=(B_{5x5})^{-1}=C_{5x5};\\ (iv);;X(X^tX)^{-1}=X_{7x5}C_{5x5}=D_{7x5};\\ (v);;X(X^tX)^{-1}X^t=D_{7x5}A_{5x7}=E_{7x7}=P;\\ ext{Logo o tamanho de } P ext{ é } 7x7 ext{.} \\ (2) ext{ Para o resultado de } PX ext{, segue que:}$

$\\ P=X(X^tX)^{-1}X^t=X(X^{-1}(X^t)^{-1})X^t=(XX^{-1})((X^t)^{-1}X^t)=Icdot I=I\\ ext{Logo, } PX ext{ fica:} \\ PX=IX=X$

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