Questão 6037

INSPER 2016

Matemática

(INSPER - 2016) No plano cartesiano ortogonal de origem O (0,0) estão representadas:

- uma circunferência , λ tangente à reta r em T e ao eixo das ordenadas;
- o triângulo retângulo OAT, com A (6,0) e um ângulo externo de medida 120º.

Sabe-se, ainda, que r passa pela origem do plano.

Nas condições dadas, o raio de λ tem medida igual a

Gabarito:

Resolução:

Se $Ohat{T}A=90^o$ , e o ângulo externo do triângulo OTA mede 120^o, então TÔA = 120-90 =30^o

Então temos:

Pelo segmento externo, OT = OP, e os ângulos $O hat{T}C$ e $O hat{P}C$ são retos, assim, os triângulos OCP e OCT são congruentes e os ângulos em X são iguais:

Como os eixos coordenados formam um ângulo reto:

$x + x + 30 = 90$

$2x= 90-30$

$2x= 60$

$x= 30$

Ou seja, os ângulos iguais medem 30°.

Podemos descobrir OT por trigonometria no triângulo OAT:

$cos(30) = frac{OT}{OA}=frac{OT}{6}$

$frac{sqrt{3}}{2} =frac{OT}{6}$

$OT = frac{6sqrt{3}}{2}$

$OT = 3sqrt{3}$

E por trigonometria em OCT, podemos descobrir o raio:

$tg(30)=frac{r}{OT}$

$frac{sqrt{3}}{3}=frac{r}{3sqrt{3}}$

$r = frac{3sqrt{3}cdot sqrt{3}}{3}= frac{3cdot3}{3}=3$

Alternativa C.

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