Questão 6

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vértices ao acaso. Calcule a probabilidade dos 3 vértices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que um dodecaedro pode ser construído com 12 faces pentagonais, assim, $2.Arestas=5.12=60 ightarrow Arestas=30$

Utilizando o teorema de Euler ( $V+F=A+2$ ), encontramos $V=20$ vértices.

Escolhendo 3 vértices ao acaso, teremos $C=inom{20}{3}$ , sendo eles da mesma face, temos $C0=inom{5}{3}$ , porém, temos 12 faces, $C1=12.inom{5}{3}$ então, $P=frac{C1}{C}=frac{120}{20.19.3}=frac{2}{19}$ .

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