Questão 4

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) A equação arctg( $z$ ) + arctg( $z + 1$ ) = arctg $left (frac{4}{3} ight )$ , em que arctg( $x$ ) é o arco tangente de $x$ , apresenta:

duas soluções reais sendo uma positiva e outra negativa.

duas soluções reais positivas.

duas soluções reais negativas.

uma única solução real, sendo esta positiva.

uma única solução real, sendo esta negativa.

Gabarito:

uma única solução real, sendo esta positiva.

Resolução:

$arctg(z)=alpha ightarrow tg(alpha )=z$

$arctg(z+1)=eta ightarrow tg(eta)=z+1$

$tg(alpha+eta)=frac{4}{3}$

Abrindo a equação de soma de tangentes, temos:

$frac{tg(alpha)+tg(eta)}{1-tg(alpha)tg(eta)}=frac{4}{3}$

$frac{z+z+1}{1-z-z^2} = frac{4}{3}$

Encontraremos a seguinte equação:

$6z+3=4-4z^2-4z$

Logo, $4z^2+10z-1=0$

$Delta = 100+16=116$

$z=frac{-10pm2sqrt{29}}{8} ightarrow z_{1}=frac{-10+2sqrt{29}}{8}$ e $z_{2}=frac{-10-2sqrt{29}}{8}$

Se nossa solução for $z_{2}$ , temos que:

$z<-1 ightarrow z+1<0$

$arctg(z+1)<0 Rightarrow arctg(z)+arctg(z+1) < arctg(z)< 0 < arctg(frac{4}{3})$

Portanto, somente $z_1$ é válida.

Logo, há uma única solução real, sendo esta positiva.

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