Questão 1

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Considere as matrizes $A=egin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 5 end{bmatrix}$ e $B=egin{bmatrix} 3 & 6 \ 2 & 1 end{bmatrix}$ . Seja $X^T$ a transposta da matriz $X$ .

Sabendo que $X^T A^{-1}=B$ então $X^{-1}$ é

$-frac{1}{7}egin{pmatrix} -12 & 5 \ 39 & -11 end{pmatrix}$

$-frac{1}{63}egin{pmatrix} 11 & -5 \ -39 & 12 end{pmatrix}$

$-frac{1}{63}egin{pmatrix} 12 & -39 \ -5 & 11 end{pmatrix}$

$-frac{1}{63}egin{pmatrix} -12 & 5 \ 39 & -11 end{pmatrix}$

$-frac{1}{63}egin{pmatrix} 11 & 39 \ -5 & 12 end{pmatrix}$

Gabarito:

$-frac{1}{63}egin{pmatrix} 11 & -5 \ -39 & 12 end{pmatrix}$

Resolução:

$X^{T}A^{-1}=B$

Multiplicando por A do lado direito, teremos:

$X^{T}A^{-1}A=BA$

$X^{T}=BA$

$egin{pmatrix} 3 & 6\ 2 & 1 end{pmatrix} imes egin{pmatrix} 2 & 3\ 1 & 5 end{pmatrix}= egin{pmatrix} 12 & 39\ 5 & 11 end{pmatrix}$

Logo,

$X^{T}= egin{pmatrix} 12 & 39\ 5 & 11 end{pmatrix}$

$X= egin{pmatrix} 12 & 5\ 39 & 11 end{pmatrix}$

Fazendo:

$X^{-1}=frac{1}{detX} imesegin{pmatrix} 11 & -5 \ -39 & 12 end{pmatrix}$ e $detX=12 imes11 - 5 imes39=-63$

Teremos, portanto,

$X^{-1}=frac{-1}{63} imesegin{pmatrix} 11 & -5 \ -39 & 12 end{pmatrix}$ .

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