Questão 9

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Um polígono regular possui $2n$ vértices $(n in mathbb{R}, n > 1)$ . Escolhem-se ao acaso 4 vértices do polígono, formando o quadrilátero $ABCD$ . A probabilidade de $ABCD$ ser um retângulo é

$frac{inom{n}{2}}{inom{2n}{4}}$

$frac{n-1}{inom{2n}{4}}$

$frac{inom{n+2}{4}}{inom{2n}{4}}$

$frac{inom{2n}{2}}{6inom{2n}{4}}$

$frac{n^{2}+2n+4}{12inom{2n}{4}}$

Gabarito:

$frac{inom{n}{2}}{inom{2n}{4}}$

Resolução:

Note que não é possível fazer um triângulo escolhendo 3 vértices na mesa semi-circunferência.

Note também, que ao fazer um retângulo, todos os vértices que escolhemos numa semicircunferência já determinam os retantes.

Sendo assim, para 2 vértices na mesma semi-circunferência: $inom{n}{2}$

E para cálculo do número toral de quadriláteros: $inom{2n}{4}$

Portanto, $p=frac{inom{n}{2}}{inom{2n}{4}}$ .

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