Questão 10

IME 2022

Física

(IME 2022/2023 - 2ª fase)

A figura acima ilustra um planeta esferico hipotético de raio R e massa M uniformemente distribuída em seu volume.

Seja um corpo de massa $m$ que possa ser movimentado por meio de motores.

Em uma primeira etapa A, o corpo descreve uma órbita circular de raio $r_{2}$ em uma cavidade estreita no interior do planeta.

Em uma etapa B, os motores do corpo são acionados para transportá-lo, através de uma passagem não representada na figura acima, da órbita circular de raio $r_{2}$ para a órbita circular de raio $r_{3}$ .

Em uma etapa C, o corpo descreve uma órbita circular de raio $r_{3}$ .

Dado:

constante universal da gravitação: G.

Observações:

despreze o atrito agindo no movimento do corpo;
para efeitos gravitacionais, despreze a falta de massa na cavidade de raio $r_{2}$ .

Diante do exposto, determine:

a) o trabalho realizado pela força gravitacional para o corpo dar uma volta pela órbita circular de raio $r_{2}$ durante a etapa A;

b) a velocidade de órbita do corpo durante a etapa A;

c) o trabalho realizado pelos motores para cumprir a etapa B, ou seja, mudar a trajetória do corpo da órbita circular de raio $r_{2}$ para a órbita circular de raio $r_{3}$ ;

d) o período para completar uma volta em torno do planeta durante a etapa C.

Gabarito:

Resolução:

A) Em orbita cirular a força gravitacional é sempre perpendicular ao vetor posição, dessa forma o trabalho realizado por essa força nessa etapa é nulo.

$au = 0$

B) Podemos calcular a força gravitacional no interior do planeta como:

$F_g = frac{GMmr_2}{R^3}$

Essa força é correspondente a força centripeta logo temos:

$F_g = F_{cp} = frac{mv_a^2}{r_2}$

Assim chegando em:

$v_A = sqrt{frac{GMr_2^2}{R^3}}$

C) Sabemos que a energia gravitacional se dá por $U_r=frac{-GMmr}{R^3}$ , assim, a variação de energia para o deslocamento proposto se dá por:

$dU=frac{-GMmrdr}{R^3}Rightarrow -(U_r-U)=frac{-GMm}{R^3}int_{r}^{R} rdr=frac{-GMm}{R^3}.[frac{R^2}{2}-frac{r^2}{2}]$

Sabemos que $U=frac{-GMm}{R}$ , assim, encontramos:

$U_r=$ $frac{-GMm[3R^2-r^2]}{2R^3}$

Temos que a energia mecância dentro se planeta dá por: $E_{mt}=frac{mv^2}{2}-frac{GMm(3R^2-r^2)}{2R^3}$ , sabemos a velocidade já encontrada em (B), substituindo, então, chegamos em:

$E_{mti}=frac{-GMm[3R^2-2r_2^2]}{2R^3}$

E para fora do planeta, $E_{mtf}=frac{-GMm}{2r_3}$

Por fim, $W_{motor}=E_{mtf}-E_{mti}=frac{GMm}{2} cdot left [frac{3}{R}-frac{2r_2^2}{R^3}-frac{1}{r_3} ight ]$ .

D) Podemos calcular o período para completar uma volta em torno do planeta com órbita circular de raio r_3 de forma similar ao calculo da velocidade no ítem a, assim chegando em:

$frac{GMm}{r_3^2} = momega^2r_3 = m(frac{2pi}{T_3})^2r_3$

Assim chegando em:

$T_3 = 2pisqrt{frac{r_3^3}{GM}}$ .

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