Questão 3

IME 2022

Física

(IME 2022/2023 - 2ª fase)

A figura mostra três roldanas ideais presas ao teto por hastes verticais e três partículas carregadas eletricamente. De acordo com a geometria apresentada, duas partículas de carga negativa $-Q$ estao penduradas por um fio ideal e uma terceira partícula de carga positiva desconhecida $+q$ esta fixada ao centro da roldana maior por uma quarta haste. Todas as partículas estão sujeitas a um campo elétrico uniforme vertical provocado por um plano infinito horizontal uniformemente carregado positivamente.

Dados:

massa de cada partícula: $m$ ;
raios das roldanas: $r$ , $2r$ e $r$ ;
módulo do campo elétrico: $E$ .

Observações:

todos os quatro segmentos do fio desenrolados das roldanas estao na direção vertical;
as roldanas e as partículas estão num mesmo plano;
as três partículas estao inicialmente em equilíbrio na mesma reta paralela ao plano horizontal;
os efeitos gravitacionais e as massas das roldanas e das hastes sao desprezíveis;
não há atrito entre o fio e as roldanas;
o fio que passa pelas roldanas e inextensível e isolante.

Diante do exposto, determine:

a) o valor da carga $q$ , em função de $Q$ , para que o sistema fique na condição de equilíbrio imposta;

b) a força de reação na haste vertical central na condição do sistema em equilíbrio, em função de $E$ e $Q$ ;

c) as acelerações de cada partícula imediatamente após uma eventual ruptura da haste que sustenta a roldana central, em função de $E$ , $m$ e $Q$ ;

d) a força de reação nas hastes laterais imediatamente após uma eventual ruptura da haste central.

Gabarito:

Resolução:

A)

$Fe1=Fe2Rightarrow frac{K.Q.Q}{(8r)^2}=frac{K.Q.q}{(4r)^2}$

$|Q|=|4q|$

$Q=-4q$

B) Dada as condições de equilíbrio para a carga $-Q$ , sendo $T=Q.E$ .

$2T+Fe=F$

$Q.E+q.E+Q.E=F$

$F=(2Q+q).E=frac{9EQ}{4}$

C) Utilizaremos o vínculo das polias, tal que $|a_1|=|a_2|=|a_3|=|a|$

Temos as seguintes equações para o sistema:

$left{egin{matrix} m.a_1=T_1-Q.E\ m.a_2=2.T_1+q.E \ m.a_3 = T_1-Q.E end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} -m.a=T_1-Q.E\ +m.a = 2.T_1+q.E end{matrix} ight.$

$3.T_1=Q.E-q.E$

$3.T_1=Q.E-frac{Q.E}{4}$

$T_1=frac{QE}{4}$

Assim, para a aceleração, temos:

$m.a=frac{QE}{2}+frac{QE}{4}$

$a=frac{3QE}{4m}$

D) $F_{lateral}=2.T_1=frac{Q.E}{2}$

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