Questão 7

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Seja ABC um triângulo tal que $2sen(widehat{A}) - sen(widehat{B}) - sen(widehat{C}) = 0$ . Prove que o valor de $cotg frac {widehat{B}}{2} cotg frac {widehat{c}}{2}$ é um número inteiro e o determine.

Observação: $cotgwidehat{A}$ é a cotangente do ângulo $widehat{A}$

Gabarito:

Resolução:

Obedecendo a identidade 2sen(A) - sen(B) - sen(C) = 0, para provarmos cotg(B/2).Cotg(C/2) é inteiro e seu valor.

Então, sabemos que

$frac{1}{tg(frac{B}{2}).tg(frac{C}{2})}$

Como ABC é triangulo, então A + B + C = 180, Logo A = 180 - (B+C)

Lembrando que ângulos suplementares tem senos iguais, sen(A) = sen( B+C). Portanto:

2sen(A) - sen(B) - sen(C) = 0

2sen(B+C) = sen(B) + sen(C)

Da identidade trigonométrica

$sin(x) + sin(y) = 2.sin(frac{x+y}{2})cos(frac{x-y}{2})$

Substituimos e fica:

$2sin(B+C) = 2.sin(frac{B+C}{2})cos(frac{B-C}{2})$

Logo, desenvolvendo a identidade, fica:

$cos(frac{B}{2}).cos(frac{C}{2}) = 3.sin(frac{B}{2})sin(frac{C}{2})$

Como contangente é o inverso da tangente, então:

$coth (frac{B}{2}).coth(frac{C}{2}) = 3$ , que é um inteiro positivo.

CQD.

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