Questão 9

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é $frac{p}{q}$ , com p e q primos entre si, o valor de p + q é:

257

419

4097

Gabarito:

419

Resolução:

Para que José chega na frente de maria precisamos considerar os casos em que isso ocorre e qual a probabilidade deles acontecerem, vejamos um por um:

José vence todas as outras 4 partidas e será vencedor independente do resultado de maria:

$(frac{1}{2})^{4}=frac{1}{16}$

José vence 3 partidas, Maria perde uma: $frac{4}{1}cdot(frac{1}{2})^{4}(1-(frac{1}{2})^{4})=frac{4}{16}cdotfrac{15}{16}$

José vence 2, Maria perde pelo menos duas

$frac{4}{2}cdot(frac{1}{2})^{4}(1-5cdot(frac{1}{2})^{4})=frac{6}{16}cdotfrac{11}{16}$

José vence uma, Maria ganha uma:
$frac{4}{3}cdot(frac{1}{2})^{4}(5cdot(frac{1}{2})^{4})=frac{4}{16}cdotfrac{5}{16}$

José e Maria perdem todas as outras 4 partidas:

$(frac{1}{2})^{4}cdot(frac{1}{2})^{4}$

Somando todas as probabilidades:
$frac{1}{16}+frac{4}{16}cdotfrac{15}{16}+frac{6}{16}cdotfrac{11}{16}+frac{4}{16}cdotfrac{5}{16}+frac{1}{16}=frac{163}{256}$

$frac{p}{q}=frac{163}{256}$
$p+q=163+256=419$

Letra D

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