Questão 2

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Considere que $a eq 0$ , $b eq0$ e $(a+b) eq 0$ . Sabendo-se que $frac{a}{b}+frac{b}{a}=3$ , determine o valor de $frac{a^{2}+b^{2}}{2(a+b)^{2}}$ .

0,1

0,3

0,6

0,8

1,0

Gabarito:

0,3

Resolução:

1. Efetuando a soma $frac{a}{b}+frac{b}{a}$ temos:

$frac{a}{b} + frac{b}{a} = frac{a^2 + b^2}{ab} = 3$

${a^2 + b^2} = 3ab$

2. Abrindo o termo $(a+b)^2$ e reorganizando temos:

$frac{a^2+b^2}{2(a+b)^2} = frac{a^2 + b^2}{2(a^2 + 2ab + b^2)}=frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2+2ab)}$

Aplicando o resultado obtido no passo 1. obtemos:

$frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2+2ab)}=frac{3ab}{2(3ab + 2ab)} = frac{3ab}{10ab} = frac{3}{10} = 0,3$

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