Questão 8

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Considere as retas que contêm o ponto C(3,3) e interceptam os eixos coordenados x e y nos pontos A e B, respectivamente. O ponto P pertence à reta AB e sua distância do ponto A é a terça parte do comprimento do segmento AB. Identifique o lugar geométrico do ponto P e escreva a sua equação.

Gabarito:

Resolução:

Seja a equação da reta que passa pelo ponto (3,3)

$y=xm+3-3m$

O ponto A de coordenadas $(a,0)$ e o ponto B de coordenadas $(0,b)$ . Queremos encontrar o lugar geométrico dos pontos $(x,y)$ , tais que $x=frac{2a}{3}$ e $y=frac{b}{3}$

Como a reta passa por A, temos que $0=ma+3-3m ightarrow ma=3m-3 ightarrow a=frac{3m-3}{m} ightarrow frac{2a}{3}= frac{2}{3} cdot egin{pmatrix} frac{3m-3}{m} end{pmatrix} ightarrow x= frac{2}{m} cdot (m-1)$ Como a reta também passa por B, temos:

$b=mcdot0+3-3m ightarrow b=3-3m ightarrow frac{b}{3}=1-m ightarrow y=1-m ightarrow m=1-y$

Substituindo $m=1-y$ na equação de $x$

$x=frac{2}{1-y}cdot (cancel{1}-y-cancel{1})= frac{-2y}{1-y} ightarrow x cdot (1-y)=-2y$

$x-xy=-2yRightarrow xy-2y=x ightarrow y(x-2)=x ightarrow y=frac{x}{x-2}$

$y=frac{x-2+2}{x-2}=frac{cancel{x-2}}{cancel{x-2}}+frac{2}{x-2}$

$y=1+frac{2}{x-2}$

Equação de uma hipérbolica ou hipérbole rotacionada

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