Questão 2

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase] Calcule os valores reais de x que satisfaçam a inequação $sqrt{log_{3}(x)+1}+frac{1}{3}log_{frac{1}{3}}(x^{2})+frac{7}{3}>0$ .

Gabarito:

Resolução:

$sqrt{log_{3}(x)+1}+frac{1}{3}log_{frac{1}{3}}(x^{2})+frac{7}{3}>0$

$sqrt{log_{3}{x+1}} +frac{1}{3}cdot log_{3^{-1}}{x^2}+ frac{7}{3}>0$

Pela condição de existência: $x>0$ , $log_{3}{x}+1geq 0\$

$log_{3}{x}geq -1\$

$xgeq 3^{-1}$

$xgeq frac{1}{3}$

Então:

$sqrt{log_{3}{x}+1}+frac{1}{3}cdot frac{1}{-1}cdot 2log_{3}{x}+frac{7}{3}>0$

Chamando $log_{3}{x}+1=y^2$ , temos $log_{3}{x}=y^2 -1$

$sqrt{y^2 }- frac{2}{3}(y^2-1)+frac{7}{3}>0$

$|y|- frac{2}{3}y^2+frac{2}{3}+frac{7}{3}>0$

$- frac{2}{3}y^2+|y|+3>0$

Como y é um número positivo, temos:

$- frac{2}{3}y^2+y+3>0$

Temos uma parábola de concavidade para baixo, e resolvendo a inequação, encontramos as raízes $3$ e $-frac{3}{2}$

Dessa forma, sabemos que a expressão é maior que zero para o intervalo entre as raízes.

Contudo, temos que y é positivo. Fazendo a intersecção dos dois intervalos, temos:

$0<y<3$

$0<y^2<3^2$

$0<log_{3}{x}+1<9$

$-1<log_{3}{x}<8$

$-1<log_{3}{x}$ e $log_{3}{x}<8$

$x>frac{1}{3}$ e $x<3^8$

$frac{1}{3}<x<3^8$

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